Question

已知函數（c＞0且c≠1，k＞0）恰有一個極大值點和一個極小值點，且其中一個極值點是x=-c
（1）求函數f（x）的另一個極值點；
（2）設函數f（x）的極大值為M，極小值為m，若M-m≥1對恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1），x₁•x₂=-c
∵x=-c是其中一個極值點
∴另一個極值點為1
（2）由
由（1）可知，f（x）在-∞-c）是減函數；在（-c，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數
∴，
∴≥1恒成立
即（k-2）b+k²-k≥0恒成立
∴
解得
分析：（1）求出導函數，令導函數為0得到方程；兩個極值點是此方程的兩個根；利用韋達定理，求出另一個極值點．
（2）判斷兩個極值點左右兩邊的導函數的符號，求出極大值與極小值，代入已知不等式，解關于b的一次不等式恒成立，將區間兩個端點代入不等式即可．
點評：解決函數的極值問題，要注意極值點處的導數值為0；解決一次不等式恒成立只需將區間的兩個端點代入不等式．