Question

如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

Answer 1

（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），…（5分）
設PE=a，則B（0，4-a，0），D（a，0，0），C（2，2-a，0），
P（0，0，a），…（7分）
可得

PB

=(0，4-a，-a)，

BC

=(2，-2，0)，…（8分）
設面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

(4-a)y-az=0 2x-2y=0

令y=1，可得x=1，z=

4-a

a

因此

n

=(1，1，

4-a

a

)是面PBC的一個法向量，…（10分）
∵

PD

=(a，0，-a)，PD與平面PBC所成角為30°，…（12分）
∴sin30°=|cos＜

PD

，

n

＞|，即|

a-(4-a)

2a2 × 2+ (4-a)2 a2

|=

1

2

，…（11分）
解之得：a=

4

5

，或a=4（舍），因此可得PE的長為

4

5

．…（13分）