Question

已知函數，，其中且．
(Ⅰ) 當，求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ)若時，函數有極值，求函數圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數 （是自然對數的底數），是否存在a使在上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）單調增區間是；（2）對稱中心坐標為；（3）符合條件的滿足.

試題分析：本題綜合考查函數與導數及運用導數求單調區間、極值等數學知識和方法，突出考查綜合運用數學知識和方法分析問題解決問題的能力.第一問，先將代入，得到的表達式，對其求導，令大于0，解不等式，得出增區間；第二問，由于當時函數有極值，所以是的根，代入得出的值，代入中得到具體解析式，可以看出的對稱中心，而到圖像是經過平移得到的，所以經過平移，得到對稱中心坐標，假設存在，試試看能不能求出來，對求導，得到的兩個根分別為1和，通過討論兩根的大小，出現3種情況在每一種情況下，討論單調性，最后總結出符合題意的的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）當，，
設，即，
所以或，
單調增區間是.
（Ⅱ）當時，函數有極值，
所以，且，即，
所以，
所以的圖像可由的圖像向下平移16個單位長度得到，
而的圖像關于對稱，
所以函數的圖像的對稱中心坐標為.
（Ⅲ）假設存在使在上為減函數，
，
（1）當時，，在定義域上為增函數，不合題意；
（2）當時，由得：，在上為增函數，則在上也為增函數，也不合題意；
（3）當時，由得：，若，無解，則，
因為在上為減函數，則在上為減函數，在上為減函數，且，則.由，得.
綜上所述，符合條件的滿足.