Question

已知是二次函數，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行．

(1)求的解析式；

(2)是否存在t∈N*，使得方程在區間內有兩個不等的實數根？

若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）.

（2）存在唯一的自然數，使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根.

【解析】

試題分析：（1）根據是二次函數，及不等式的解集是，

可設，. 再根據函數在切點的斜率就是該點處的導函數值，可建立

方程，解得.

（2）首先由（1）知，方程等價于方程.

構造函數，通過“求導數、求駐點、討論導數值的正負”明確函數的單調區間，通過計算，

認識方程有實根的情況.

試題解析：（1）∵是二次函數，不等式的解集是，

∴可設，.

∴. 2分

∵函數在點處的切線與直線平行，

∴.

∴，解得.

∴. 5分

（2）由（1）知，方程等價于方程 6分

設，

則. 7分

當時，，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增. 9分

∵，

∴方程在區間，內分別有唯一實數根，在區間

內沒有實數根. 12分

∴存在唯一的自然數，使得方程

在區間內有且只有兩個不等的根. 13分

考點：二次函數，導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性.