Question

（1）已知f（x）為一次函數，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．
（2）函數y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數，當x＞0時f（x）=x²-2x-3，求函數y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b為常數，若f（x）=x²+4x+3，f（ax+b）=x²+10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

分析：（1）運用待定系數法，設一次函數為f（x）=ax+b，代入已知后通過比較系數列方程求出a、b即可
（2）運用對稱性求解析式，先確定f（0）=0，再設x＜0，利用奇函數性質和x＞0時f（x）=x²-2x-3，求出x＜0時函數解析式，最后將函數解析式合成分段函數
（3）運用待待定系數法，將ax+b代入f（x）=x²+4x+3，化簡后比較系數，列方程求出a、b即可

解答：解：（1）設f（x）=ax+b，則f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=

2

，b=1-

2

或a=-

2

，b=1+

2

∴f(x)=

2

x+1-

2

或f(x)=-

2

x+1+

2

（2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數，∴f（0）=0
下面求x＜0時函數解析式
設x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∴x＜0時函數解析式f（x）=-x²-2x+3
∴函數y=f（x）的解析式為

x2-2x-3     (x＞0) 0              (x=0) -x2-2x+3   (x＜0)

（3）∵f（x）=x²+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）²+4（ax+b）+3=a²x²+（2ab+4a）x+b²+4b+3=x²+10x+24
∴

a2=1 2ab+4a=10 b2+4b+3=24

，解得

a=1 b=3

或

a=-1 b=-7

∴5a-b=2

點評：本題考察了求函數解析式的方法，待定系數法，對稱性法，配湊法等，解題時要歸納解題規律，認清形式，準確選擇恰當方法解決問題．