Question

求滿足，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整數組（x，y，z，u）的個數．

Answer 1

【答案】分析：先設．記A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，顯然card（A）+card（B）+card（C）=10⁴．下面證明：我們證明card（A）=card（B）．接著計算card（C）．而計算出滿 足 x=z，y=u，x≠z的四元組共90個，進而可得答案．
解答：解：設f（a，b，c，d）=．
記A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，
顯然card（A）+card（B）+card（C）=10⁴．
我們證明card（A）=card（B）．對每一個（x，y，z，u）∈A，考慮（x，u，z，y）．（x，y，z，u）∈A?f（x，y，z，u）＞0?＞0
?＜0?f（x，y，z，u）＜0?（x，u，z，y）∈B
接著計算card（C）．（x，y，z，u）∈C??（z-x）（u-y）（xz-yu）=0
設C₁={（x，y，z，u）|x=z，1≤x，y，z，u≤10}，C₂={（x，y，z，u）|x≠z，y=u，1≤x，y，z，u≤10}，C₃={（x，y，z，u）|x≠z，y≠u，xz=yu，1≤x，y，z，u≤10}．∵滿足a×b=c×d，（a，b，c，d）為1、2、3、、10的兩兩不同的無序四元組只有1×6=2×3，1×8=2×4，1×10=2×5，2×6=3×4，2×9=3×6，2×10=4×5，3×8=4×6，3×10=5×6，4×10=5×8．
滿足x=y，z=u，x≠z的四元組共90個，滿 足 x=z，y=u，x≠z的四元組共90個，card（C₃）=4×2×9+90+90=252，card（C₁）=1000，card（C₂）=900．
所以，card（C）=2152，card（A）=3924．
點評：本題主要考查了多次試驗分數法的試驗設計，解答的關鍵是對于式子的運算變形能力．