Question

已知P是圓M：x²+y²+4x+4-4m²=0(m>0且m≠2)上任意一點，點N的坐標為(2，0)，線段NP的垂直平分線交直線MP于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當m=時，在x軸上是否存在一定點E，使得對曲線C的任意一條過E的弦AB，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）當m>2，，軌跡是以、為焦點的橢圓，其方程為；
當m<2，軌跡是以、為焦點的雙曲線，其方程為；
（2）定點，定值為6.

解析試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點，當時，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；當時，根據(jù)雙曲線的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當時，軌跡必為橢圓方程，設，分別過E取兩垂直與坐標軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6.再進行證明．存在性問題，先猜后證是關鍵.再設設過點E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求得為定值6.
（1）由題意，，所以，
所以軌跡是以、為焦點，以為長軸的橢圓，
當m>2，，軌跡是以、為焦點的橢圓，其方程為；
當m<2，軌跡是以、為焦點的雙曲線，其方程為（4分）
（2）由（1）當時，曲線C為，
設，分別過E取兩垂直于坐標軸的兩條弦CD，，
則，即
解得，∴E若存在必為定值為6.（6分）
下證滿足題意.
設過點E的直線方程為，代入C中得:
，設、，
則，，（8分）


.
同理可得E也滿足題意.
綜上得定點為E，定值為（13分）
考點：直線和圓的方程的應用，圓錐曲線的定義、性質與方程，軌跡方程的問題.