Question

【題目】某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：

①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；

②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；

③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；

④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°

⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°

（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為一三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ，并證明你的結論．

（參考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）選擇②式利用同角三角函數基本關系和降冪公式化簡求值；（Ⅱ）對后兩個式子用和差角公式展開化簡計算即可.

解：（Ⅰ）選擇②式：

所以該常數為；

（Ⅱ）三角恒等式為 ，

證明如下：