Question

如圖，假設河的一條岸邊為直線MN，又AC⊥MN于C，點B、D在MN上．先需將貨物從A處運往B處，經陸路AD與水路DB．已知AC=10公里，BC=30公里，又陸路單位距離的運費是水路運費的兩倍，為使運費最少，D點應選在距離C點多遠處？

Answer 1

分析：設CD=x公里，設水路運價每公里為a元，則陸路運價為每公里2a元，然后根據題意建立運費關于x的函數解析式，最后利用判別式法求函數的最值，從而求出所求．

解答：解：設CD=x公里，設水路運價每公里為a元，則陸路運價為每公里2a元，運費為y，
∴運費y=2a

x2+100

+a(30-x)（0≤x≤30）
令z=2

x2+100

-x，
則z+x=2

x2+100

，平方得3x²-2zx+（400-z²）=0
由x∈R，得△=4z²-4×3（400-z²）≥0
由z≥0 解得z≥10

3

，當且僅當x=

10 3

3

時 z=10

3

因此當x=

10 3

3

時y有最小值，
故當CD=

10 3

3

公里時，運費最少．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用判別式求函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．