Question

（2013•日照二模）已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數(shù)，f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

A．（-2，+∞）

B．（0，+∞）

C．（1，+∞）

D．（4，+∞）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解

解答：解：∵y=f（x+2）為偶函數(shù)，∴y=f（x+2）的圖象關(guān)于x=0對稱
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱
∴f（4）=f（0）
又∵f（4）=1，∴f（0）=1
設(shè)g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），則g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
又∵g（0）=

f(0)

e0

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故選B．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．