Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）求二面角A－PD－C的余弦值.

Answer 1

（I）見解析；（II）.

解析試題分析：（I）先根據已知條件證明，那么就有，在根據題中已知邊的長度，由勾股定理證明，根據直線與平面垂直的判定定理即可證明；（II）設為中點，連結，過作于，證明是二面角的平面角.再由，解得和的值，求的余弦值即可.
試題解析：（I）∵，∴.
又∵，，且，
∴. 
又，∴.                             3分
在底面中，∵，，
∴，有，∴.
又∵， ∴.                     6分
（II）設為中點，連結，則.

又∵，，
，∴.
∵，∴.
過作于，
∵，∴，
∴，∴是二面角的平面角.          9分
由已知得，， ∴.
由得，，∴，
∴，
∴.
即二面角的余弦值為.                           12分
考點：1、直線與平面垂直的判定定理；2、勾股定理的應用；3、構造二面角；4、平面與平面垂直的性質定理；5、解三角形.