Question

已知定點F（2，0）和定直線l：x=-2，動圓P過定點F與定直線l相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程．
（2）若以M（2，3）為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根據動圓P過定點F與定直線l相切，故動圓圓心P到F的距離等于P到l的距離，根據拋物線的定義，可得P的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線．
（2）由（1）中拋物線的方程，利用設而不求的方法，結合線段AB是以M（2，3）為圓心的圓的直徑，可得

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

且y₂+y₁=6，求出直線AB的斜率后，代入點斜式方程，可得答案．

解答：解：（1）由題意知，P到F的距離等于P到l的距離，
所以P的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，
∵定點F（2，0）和定直線l：x=-2，
它的方程為y²=8x
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y12=8x1，y22=8x2
∴

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

由AB為圓M（2，3）的直徑知，y₂+y₁=6
故直線的斜率為

4

3

直線AB的方程為y-3=

4

3

(x-2)，即4x-3y+1=0

點評：本題考查的知識點是拋物線的標準方程，直線的斜率公式，直線的點斜式方程，難度較小，屬于基礎題型．