Question

【題目】橢圓 的離心率為 ，右焦點到直線 的距離為 ，過M（0，﹣1）的直線l交橢圓于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l交x軸于N， ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設右焦點為（c，0）（c＞0）

∵右焦點到直線 的距離為 ，

∴

∴

∵橢圓 的離心率為 ，

∴

∴

∴

∴橢圓的方程為 ；

（2）解：設A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）

∵ ，

∴ x2﹣x0，y2）

∴ ①

易知直線斜率不存在時或斜率為0時①不成立

于是設直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．

與橢圓方程聯立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②

∴ ③ ④

由①③可得 ， 代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0

∴k2=1

此時②為5y2+2y﹣7=0，判別式大于0

∴直線l的方程為y=±x﹣1

【解析】（1）根據右焦點到直線 的距離為 ，可得 ，利用橢圓 的離心率為 ，可得 ，從而可得 ， ，故可求橢圓的方程；（2）設A （x1 ， y1），B（x2 ， y2），N（x0 ， 0），利用 ，可得 x2﹣x0 ， y2），設直線l的方程為y=kx﹣1（k≠0）．與橢圓方程聯立 ，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．