Question

已知函數
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數求函數的單調性等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先將代入得到表達式，對求導，將切點的橫坐標2代入中得到切線的斜率k，再將切點的橫坐標2代入到中，得到切點的縱坐標，最后利用點斜式寫出切線方程；第二問，討論的單調性即討論的正負，即討論導數表達式分子的正負，所以構造函數，通過分析題意，將分成、、、多種情況，分類討論，判斷的正負，從而得到的單調性.
試題解析：（1）當時，
       6分
（2）因為，
所以 ，
令        8分
（i）當a=0時，
所以當時g(x)>0, 此時函數單調遞減，
x∈（1，∞）時，g(x)<0,此時函數f^,(x)單調遞增。
（ii）當時，由，解得：        10分
①若,函數f(x)在上單調遞減，        11分
②若，在單調遞減，在上單調遞增.
③ 當a<0時，由于1/a-1<0,
x∈(0,1)時，g(x)>0,此時,函數f(x)單調遞減；
x∈（1，∞）時，g(x)<0 ,,此時函數單調遞增。
綜上所述：
當a≤ 0 時，函數f(x)在（0,1）上單調遞減;
函數f(x)在 (1, +∞) 上單調遞增
當時,函數f(x)在(0, + ∞)上單調遞減
當時，函數f(x)在上單調遞減；
函數 f(x)在上單調遞增；   14分
考點：導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數求函數的單調性.