Question

（本小題滿分12分）

設函數，其中表示不超過的最大整數，如.

 （1）求的值；

（2）若在區間上存在x，使得成立，求實數k的取值范圍；

（3）求函數的值域.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（1）因為，所以 ------2分

（2）因為，所以,          -------------------3分

則.

求導得，當時，顯然有,

所以在區間上遞增,                -------------------4分

即可得在區間上的值域為,

在區間上存在x，使得成立，所以. ---------------6分

（3）由于的表達式關于x與對稱，且x>0，不妨設x³1.

當x=1時，=1，則;           ----------------------7分

當x>1時，設x= n+，nÎN^*，0£<1.

則[x]= n，，所以.   -----------------8分

，

在[1，+¥)上是增函數，又，

,

當時，

當時，                  … 10分

故時，的值域為I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

設,

則.

,

\當n³2時，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

又b_n單調遞減，\ b₂> b₃>…> b_n>…

\[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…       ----------------------11分

\ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂=

綜上所述，的值域為. ----------------------12分

考點：函數性質的綜合應用；利用導數研究函數的單調性；函數的值域。

點評：我們要注意恒成立問題和存在性問題的區別。恒成立問題：通常采用變量分離法解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立；存在性問題：思路1：存在使成立；思路2: 存在使成立。