Question

已知

a

=（3，1，5），

b

=（1，2，-3），若

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4．
（1）若向量

c

垂直于空間直角坐標(biāo)系的z軸，試求

c

的坐標(biāo)；
（2）是否存在向量

c

，使得

c

與z軸共線？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)

c

=（x₀，y₀，z₀），設(shè)z軸上一點(diǎn)為（0，0，a）（a≠0），依題意

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4，

c

垂直于空間直角坐標(biāo)系的z軸，即可求得

c

的坐標(biāo)；
（2）設(shè)

c

=（x₁，y₁，z₁），設(shè)z軸上一點(diǎn)為（0，0，a）（a≠0），同（1）求得λ與a的關(guān)系式即可作出判斷．

解答：解：（1）設(shè)

c

=（x₀，y₀，z₀），設(shè)z軸上一點(diǎn)為（0，0，a）（a≠0），則由題意得：

(3，1，5)•(x0，y0，z0)=9 (1，2，-3)•(x0，y0，z0)=-4 (0，0，a)•(x0，y0，z0)=0(a≠0)

，
解得

x0= 22 5 y0=- 21 5 z0=0

，即

c

=（

22

5

，-

21

5

，0）．
（2）令設(shè)

c

=（x₁，y₁，z₁），設(shè)z軸上一點(diǎn)為（0，0，a）（a≠0），則由題意，
知（x₁，y₁，z₁）=λ（0，0，a）=（0，0，λa）（a≠0），
所以x₁=0，y₁=0，z₁=λa，即

c

=（0，0，λa）（a≠0），
又

a

•

c

=9，

b

•

c

=-4，即

(3，1，5)•(0，0，λa)=9 (1，2，-3)•(0，0，λa)=-4

⇒

λa= 9 5 λa= 4 3

，顯然矛盾．
∴不存在滿足題意的向量

c

，使得

c

與z軸共線．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．