Question

已知函數f(x)(x∈R且x＞0)，對于定義域內任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時，f(x)＞0恒成立。 （1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個實根；
（3）若x∈[1，+∞)時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）令x=y=1，∴f(1)=2f(1)，∴f(1)=0；
（2）任取，則，由題意，，
又定義域內任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)-f(y)=f(x)，
∴，∴，
∴函數f(x)在其定義域內為增函數，由（1）和f(1)=0，所以，1為方程f(x)=0的一個實根；
若還存在一個x₀，且x₀＞0，使得，
因為函數f(x)在其定義域內為增函數，必有，故方程f(x)=0有且僅有一個實根；
（3）由（2）知函數f(x)在其定義域內為增函數，
當x∈[1，+∞)時，不等式恒成立，
即恒成立，
即，即在x∈[1，+∞)時恒成立，
∵，
∴a＞-2。