Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖(1)）及左視圖（如圖(2)），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。

(1)求證：AD⊥PB；
(2)求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
(3)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小.

Answer 1

⑴利用面面垂直的性質得到線面垂直，然后再由線面垂直證得線線垂直；⑵；⑶。

試題分析：⑴取AB的中點O，連接PO，因為PA=PB，則PO⊥AB，
又∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，    2分
而AD⊥AB，PO∩AB=O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB。    4分
⑵過O作AD的平行線為x軸，以OB、OP所在直線分別為y、z軸，建立如圖的空間直角坐標系，則A（0，-1，0），D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0），

=（2，-1，-2），=（0，2，0），cos＜，＞==-，
即異面直線PD與AB所成角的余弦值為。    8分
⑶易得平面PAB的一個法向量為n=（1，0 ，0）。
設平面PCD的一個法向量為m=（x，y，z），由⑵知=（2，-1，-2），=（0，-2，0），則，即，解得x=z，
令x=1，則m=（1，0，1），   .10分
則cos＜n，m＞==，
即平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小為。    .12分
點評：空間各種角問題最終都可以轉化為線線角求解，可用空間向量的數量積及其夾角余弦公式求解。