Question

在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿對角線AC折起后如圖所示（點D記為點P），點P在平面ABC上的正投影E落在線段AB上，連接PB．若F是AC的中點，連接PF，EF．
（1）求證：AC⊥平面PEF．
（2）求直線PC與平面PAB所成的角的大小．

Answer 1

分析：在這個“折疊問題”中，要把握好不變的長度關系、線線關系、線面關系，
（Ⅰ）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．由于點E為點P在平面ABC上的正投影，則PE⊥平面ABC，因此；只要再證AC⊥PF垂直即可；
（Ⅱ）要求線面角：即要找到過C與面PAB垂直的直線，由（1）知PE⊥平面ABC，則PE⊥BC，又有BC⊥AB，則BC⊥平面PAB，∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角；再利用直角三角形中的邊角關系即可求出線面角的大小．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1
∴AB=

BC

tan30°

=

3

，AC=2，∠DAC=60°．
∴AD=CD=AC=2…（2分）
∵PA=PC，∴PF⊥AC．…（4分）
∵點E為點P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC∴PE⊥AC…（6分）
∵PF∩PE=P．PF?平面PEF，PE?平面PEF，∴AC⊥平面PEF…（7分）
（2）∵PE⊥平面ABC∴PE⊥BC…（8分）
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB∴∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角．…（10分）
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，∴sin∠CPB=

BC

PC

=

1

2

．…（12分）
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直線PC與平面PAB所成的角為 30°…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力