如圖，橢圓
經過點
，離心率
，直線
的方程為
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)
是經過右焦點
的任一弦(不經過點
)，設直線與直線相交于點
，記
的斜率分別為
.問：是否存在常數
，使得
？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
(1)
；(2)
.
解析試題分析：（1）將點代入橢圓的方程得到
，結合離心率
且
，即可求解出
，進而寫出橢圓的標準方程即可；（2）依題意知，直線的斜率存在，先設直線
的方程為
，并設
，聯立直線的方程與橢圓的方程，消去
得到
，根據二次方程根與系數的關系得到
，由直線及的方程確定點的坐標（含
），進而得到
，
進而整理出
（注意關注并應用
共線得到
），從而可確定的取值.
試題解析：(1)由在橢圓上得， ①
依題設知
，則
②
②代入①解得
故橢圓
的方程為
(2)由題意可設的斜率為
， 則直線的方程為 ③
代入橢圓方程
并整理
得
設，則有 ④
在方程③中令
得，
的坐標為
從而
注意到共線，則有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又
，所以
.故存在常數符合題意.
考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的綜合問題；3.二次方程根與系數的關系.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1，0)．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，F為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且
＝λ
(λ＞0)，定點A(－4，0)．
(1)求證：當λ＝1時，
⊥
；
(2)若當λ＝1時，有
·
＝
，求橢圓C的方程．.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設定圓
，動圓
過點
且與圓
相切，記動圓圓心的軌跡為
.
（1）求軌跡的方程；
（2）已知
，過定點
的動直線
交軌跡于
、
兩點，
的外心為．若直線的斜率為
，直線
的斜率為
，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
,0),(,0),離心率是
.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(3)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
過橢圓
的左頂點
作斜率為2的直線，與橢圓的另一個交點為
，與
軸的交點為
，已知
.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設動直線
與橢圓有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
，若
軸上存在一定點
，使得
，求橢圓的方程.
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的右焦點為
，實軸長
.
與雙曲線恒有兩個不同的交點
，且
為銳角(其中
為原點)，求
的取值范圍.
、
的四個端點都在橢圓
上，其中，直線
，直線
．
，
，求
的值；
變化時，恒有
＝1有相同的焦點，直線y＝
x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．