Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數，e=2.71828…）是R上的奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）討論關于x的方程的根的個．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函數，則f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故，
令，則，
當x∈（0，e）時，，∴f₁（x）在（0，e]上為增函數；
當x∈[e，+∞）時，，∴f₁（x）在[e，+∞）上為減函數；
當x=e時，，…．…..（8分）
而，結合函數圖象可知：
當，即時，方程無解；
當，即時，方程有一個根x=e；
當，即時，方程有兩個根．…..…..…．（12分）
分析：（Ⅰ）由奇函數的性質可得f（-x）=-f（x），令x=0代入可得a值；
（Ⅱ）代入可得，令，求導數可得函數f₁（x）的單調性，進而得最大值，配方可得，結合函數圖象可知得結論．
點評：本題考查函數的奇偶性和根的存在性及個數的判斷，屬中檔題．