Question

【題目】已知四棱錐中，底面，，，，.

（1）當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（2）當(dāng)直線與平面所成的角為45°時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)根據(jù)幾何關(guān)系得到面，進(jìn)而得到點(diǎn)面距離；（2）根據(jù)線面角得到，所以，建立坐標(biāo)系求得面的法向量由向量夾角的計(jì)算公式，進(jìn)而得到二面角的余弦值.

（1）由，，知，則，

由面，面得，由，，面，

則面，則點(diǎn)到平面的距離為一個(gè)定值，.

（2）由面，為在平面上的射影，則為直線與平面

所成的角，則，所以.

由，得，故直線、、兩兩垂直，因此，以點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，易得，，，于是，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則

，，于是；顯然為平面的一個(gè)法向量，

于是，

分析知二面角的余弦值為.