Question

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．對(duì)函數(shù)f（x）=[x]有以下的判斷：
①若x∈[1，2]，則f（x）的值域?yàn)閧0，l，2}；
②f（x+1）=f（x）+1；
③f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
④g（x）=x-f（x）是一個(gè)周期函數(shù)．
其中正確的判斷有

②④

（只填序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，故x∈[1，2]時(shí)，f（x）=1或f（x）=2，進(jìn)而判斷①；根據(jù)x+1與x小數(shù)部分相同，整數(shù)部分相差1，可判斷②；令x₁=x₂=3.5，舉出反倒，可判斷③；根據(jù)g（x）=x-f（x）的函數(shù)值是自變量x的小數(shù)部分，進(jìn)而可判斷其周期為1，可判斷④

解答：解：∵函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，
∴①若x∈[1，2]，則f（x）的值域?yàn)閧l，2}，故①錯(cuò)誤；
②x+1與x小數(shù)部分相同，整數(shù)部分相差1，故f（x+1）=f（x）+1，故②正確；
③當(dāng)x₁=x₂=3.5時(shí)，f（x₁+x₂）=f（7）=7，f（x₁）+f（x₂）=3+3=6，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）不成立，故③錯(cuò)誤；
④g（x）=x-f（x）的函數(shù)值是自變量x的小數(shù)部分，故是一個(gè)周期為1的周期函數(shù)，故④正確
故正確的判斷有②和④
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的值域，函數(shù)的周期性，函數(shù)值，正確理解函數(shù)f（x）=[x]的含義是解答的關(guān)鍵．