Question

(本小題滿分13分)如圖，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5。

（1）求異面直線DE與的距離；(8分)
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。(5分)

Answer 1

（1）
（2）

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，
從而，又，故是異面直線與的公垂線．
設的長度為，則四棱椎的體積為
．
而直三棱柱的體積為．
由已知條件，故，解之得．
從而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
（Ⅱ）如圖，過作，垂足為，連接，因，，故面．

由三垂線定理知，故為所求二面角的平面角．
在直角中，，
又因，
故，所以．
解法二：
（Ⅰ）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，則，．

設，則，
又設，則，
從而，即．
又，所以是異面直線與的公垂線．
下面求點的坐標．
設，則．
因四棱錐的體積為

．
而直三棱柱的體積為．
由已知條件，故，解得，即．
從而，，．
接下來再求點的坐標．
由，有，即     （1）
又由得．    （2）
聯立（1），（2），解得，，即，得．
故．
（Ⅱ）由已知，則，從而，過作，
垂足為，連接，
設，則，因為，故
……………………………………①
因且得，即
……………………………………②
聯立①②解得，，即．
則，．
．
又，故，
因此為所求二面角的平面角．又，從而，
故，為直角三角形，所以．