Question

【題目】已知函數f（x）= x3+2x2+3x（x∈R）的圖象為曲線C，問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩點？若存在，求出符合條件的所在直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：設存在過點A（x1 ， y1）的切線曲線C同時切于兩點， 另一切點為B（x2 ， y2），x1≠x2 ，
則切線方程是：y﹣（ x13+2x12+3x1）=（x12+4x1+3）（x﹣x1），
化簡得：y=（x12+4x1+3）x+（﹣ x13﹣2x12），
而過B（x2 ， y2）的切線方程是y=（x22+4x2+3）x+（﹣ x23﹣2x22），
由于兩切線是同一直線，
則有：x12+4x1+3=x22+4x2+3，得x1+x2=﹣4，
又由﹣ x13﹣2x12=﹣ x23﹣2x22 ，
即﹣ （x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）=2（x1﹣x2）（x1+x2）
化簡可得x1x2=4，
解得x2=﹣2，x1=﹣2，這與x1≠x2矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點
【解析】設存在過點A（x1 ， y1）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x2 ， y2），x1≠x2 ， 分別求出切線，由于兩切線是同一直線，建立等式關系，根據方程的解的情況即可判斷符合條件的所有直線方程．