Question

數列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），S_n=（m+1）-ma_n對任意的n∈N^*都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）記數列{a_n}的公比為q，設q=f（m）．若數列{b_n}滿足；b₁=a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*）．求證：數列{

1

bn

}是等差數列；
（3）在（2）的條件下，設c_n=b_n•b_n+1，數列{c_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）首先求出a₁=1，根據S_n=（m+1）-ma_n對任意的n∈N^*都成立求出S_n=（m+1）-ma_n，S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），兩式相減即可得a_n=ma_n-1-ma_n，整理可證得

an

an-1

=

m

m+1

(n≥2)，于是可證得數列a_n是首項為1，公比為

m

m+1

的等比數列，
（2）根據b_n=f（b_n-1）得到bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，整理得

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，據此可證得數列{

1

bn

}是等差數列，
（3）求出數列{b_n}的通項公式，然后求出數列{c_n}的表達式cn=bn•bn+1=

1

n(n+1)

，最后利用裂項相消法進行求和最后可得T_n=1-

1

n+1

，于是可以證明T_n＜1．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1，∵S_n=（m+1）-ma_n，①
∴S_n-1=（m+1）-ma_n-1（n≥2），②
①-②得：a_n=ma_n-1-ma_n（n≥2），
∴（m+1）a_n=ma_n-1．∵a₁≠0，m＜-1，
∴a_n-1≠0，m+1≠0，∴

an

an-1

=

m

m+1

(n≥2)．
∴數列a_n是首項為1，公比為

m

m+1

的等比數列．
（2）f(m)=

m

m+1

，b1=a1=1，bn=f(bn-1)=

bn-1

bn-1+1

，
∴

1

bn

=

b n-1+1

bn-1

，∴

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，
∴數列{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數列．
（3）由（2）得

1

bn

=n，則bn=

1

n

．cn=bn•bn+1=

1

n(n+1)

，
Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

點評：本題主要考查數列求和和等差、等比數列的關系的確定的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握等差、等比數列的性質，會利用裂相消法求數列的和，本題難度一般．