Question

求適合下列條件的拋物線的標準方程：
（1）頂點在原點，對稱軸為坐標軸，頂點到準線的距離為4；
（2）頂點是雙曲線16x²-9y²=144的中心，準線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標軸．

Answer 1

分析：（1）根據頂點在原點，對稱軸為y軸，可設拋物線方程為：x²=±2py，利用頂點到準線的距離為4，即可求得拋物線方程．
（2）雙曲線方程化為標準方程，確定拋物線的頂點與焦點，即可得到結論．

解答：解�。�1）由拋物線的標準方程對應的圖形易知：頂點到準線的距離為

p

2

，
故

p

2

=4，p=8．
因此，所求拋物線的標準方程為y²=±16x或x²=±16y．
（2）雙曲線方程16x²-9y²=144化為標準形式為

x2

9

-

y2

16

=1，
中心為原點，左頂點為（-3，0），
故拋物線頂點在原點，準線為x=-3．
由題意可設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），
可得

p

2

=3，
故p=6．
因此，所求拋物線的標準方程為y²=12x．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查雙曲線、拋物線的幾何性質，考查學生的計算能力．解題的關鍵是定型與定量，屬于基礎題．