Question

已知盒子A中有m個紅球與10-m個白球，盒子B中有10-m個紅球與m個白球（兩個盒子中的球形狀、大小都相同）．
（Ⅰ）分別從A、B中各取一個球，ξ表示紅球的個數．
（ⅰ）請寫出隨機變量ξ的分布規律，并證明Eξ等于定值；
（ⅱ）當Dξ取到最小值時，求m的值．
（Ⅱ）在盒子A中不放回地摸取3個球．事件A：在第一次取到紅球后，以后兩次都取到白球．事件B：在第一次取到白球后，以后兩次都取到紅球，若P（A）=P（B），求m的值．

Answer 1

（Ⅰ） 由題意可得：ξ表示紅球的個數，則ξ可能取的值為：0，1，2，
（i）根據題意可得：P（ξ=0）=

C 110-m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)m

100

，P（ξ=1）=

C 110-m C 110-m + C 1m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)2+m2

100

，P（ξ=2）=

C 110-m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)m

100

，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	(10-m)m 100	(10-m)2+m2 100	(10-m)m 100

所以Eξ=1×

(10-m)2+m2

100

+2×

(10-m)m

100

=1，
所以Eξ等于定值1．
（ii）由（i）可得：Dξ=

(10-m)m

100

+

(10-m)m

100

=

-(m-5)2+25

50

，并且1≤m≤9，
所以當m=1=9時D_ξ取最小值為：

9

50

．
（Ⅱ）因為事件A：在第一次取到紅球后，以后兩次都取到白球，
所以P(A)=

C 1m C 210-m

C 1m C 29

=

(10-m)(9-m)

72

，
又因為事件B：在第一次取到白球后，以后兩次都取到紅球，
所以P(B)=

C 2m C 110-m

C 110-m C 29

=

m(m-1)

72

．
因為P（A）=P（B），
所以

(10-m)(9-m)

72

=

m(m-1)

72

，解得：m=5．