Question

設z₁是方程x²-6x+25=0的一個根．
（1）求z₁；
（2）設z₂=a+i（其中i為虛數單位，a∈R），若z₂的共軛復數

.

z2

滿足|

z

3 1

•

.

z2

|=125

5

，求

z

2 2

．

Answer 1

分析：（1）直接利用實系數一元二次方程的求根公式求解；
（2）由z₂=a+i得其共軛復數，把z₁及

.

z2

代入|

z

3 1

•

.

z2

|=125

5

，整理后求解a的值，代入z₂=a+i后求解

z

2 2

．

解答：解 （1）∵△=6²-4×25=-64，
∴x=

6± 64 i

2

=3±4i，即z₁=3-4i或z₁=3+4i； 
（2）由z₂=a+i，得

.

z2

=a-i．
當z₁=3-4i時，
則|z13•

.

z2

|=|（3-4i）³•（a-i）|=125

5

，得
|（-117-44i）（a-i）|=125

5

，
整理得：125

a2+1

=125

5

，∴a=±2．
當z₁=3+4i時，
則|z13•

.

z2

|=|（3+4i）³•（a-i）|=125

5

，得
|（-117+44i）（a-i）|=125

5

，
整理得：125

a2+1

=125

5

，∴a=±2．
綜上：
當a=-2時，

z

2 2

=(-2+i)2=3-4i； 
當a=2時，

z

2 2

=(2+i)2=3+4i．

點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，訓練了實系數一元二次方程虛根的求法，考查了復數模的求法，考查了學生的計算能力，是基礎題．