Question

（2012•鹽城三模）在平面直角坐標系xOy中，過點A（-2，-1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，短軸端點為B₁、B₂，

FB1

•

FB2

=2b2．
（1）求a、b的值；
（2）過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R．過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P．若AQ•AR=3OP²，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用

FB1

•

FB2

=2b2，可得c²-b²=2b²，根據橢圓過點A（-2，-1），可得

4

a2

+

1

b2

=1，由此可求a、b的值；
（2）設直線l的方程代入橢圓方程，求出Q的橫坐標；直線OP的方程代入橢圓方程，求出P的橫坐標，利用AQ•AR=3OP²，建立方程，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）由題意，F（-c，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），則

FB1

=(c，-b)，

FB2

=(c，b)
∵

FB1

•

FB2

=2b2
∴c²-b²=2b²①
∵橢圓過點A（-2，-1）
∴

4

a2

+

1

b2

=1②
由①②解得a²=8，b²=2
∴a=2

2

，b=

2

；
（2）由題意，設直線l的方程為y+1=k（x+2），代入橢圓方程可得（x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0
∵x+2≠0，∴x+2=

8k+4

4k2+1

，∴x_Q+2=

8k+4

4k2+1

由題意，直線OP的方程為y=kx，代入橢圓方程可得（4k²+1）x²=8
∴xP2=

8

4k2+1

∵AQ•AR=3OP²，
∴|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3xP2
∴|

8k+4

4k2+1

|×2=3×

8

4k2+1

∴k=1或k=-2
當k=1時，直線l的方程為x-y+1=0；當k=-2時，直線l的方程為2x+y+5=0

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．