(13分)已知橢圓
的長軸長為4，A,B,C是橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且
，
，如圖.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如果橢圓上的兩點P,Q使
的平分線垂直于OA，是否總存在實數(shù)
，使得
？請說明理由.
解析:（Ⅰ）由題意知：
，
，
則橢圓方程為
…………………………………………………………………2分
由橢圓的對稱性知：
，
又
，即
為等腰直角三角形，………………………4分
由得：
，代入橢圓方程得：
，
即橢圓方程為
；………………………………………………………………6分
（Ⅱ）假設(shè)總存在實數(shù)
，使得
，即
，……………………………7分
由得
，則
，………………………………………8分
若設(shè)CP：
，則CQ：
，
由
，………………9分
由得
是方程
的一個根，
由韋達定理得：
，以
代k得
，…10分
故
，故， ………………13分
，使得 …………………………………………14分 
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（本題13分）已知橢圓
的方程是
，點
分別是橢圓的長軸的左、右端點，
左焦點坐標(biāo)為
，且過點
。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知
是橢圓的右焦點，以
為直徑的圓記為圓
,試問:過
點能否引圓的切線，若能，求出這條切線與
軸及圓的弦
所對的劣弧圍成的圖形的面積；若不能，說明理由。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆重慶市高二12月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知橢圓的頂點與雙曲線
的焦點重合，它們的離心率之和為
，若橢圓的焦點在
軸上，求橢圓的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高三第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知橢圓
的中心在原點
，焦點
，
在
軸上，經(jīng)過點
，
,且拋物線
的焦點為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 垂直于
的直線
與橢圓交于
,
兩點，當(dāng)以
為直徑的圓
與
軸相切時，求直線的方程和圓的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題共13分）已知橢圓
的右焦點為
，
為橢圓的上頂點，
為坐標(biāo)原點，且△
是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線
交橢圓于
，
兩點，
且使點
為△
的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年陜西省五校高三第二次模擬測試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知橢圓
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線
相切，
分別是橢圓的左右兩個頂點， 
為橢圓
上的動點.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線
與
的斜率分別為
，證明：
為定值；
（Ⅲ）
為過且垂直于
軸的直線上的點，若
，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
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