Question

若數列{a_n}對于任意的正整數n滿足：a_n＞0且a_na_n+1=n+1，則稱數列{a_n}為“積增數列”．已知“積增數列”{a_n}中，a₁=1，數列{a_n²+a_n+1²}的前n項和為S_n，則對于任意的正整數n，有（ ）
A．S_n≤2n²+3
B．S_n≥n²+4n
C．S_n≤n²+4n
D．S_n≥n²+3n

Answer 1

【答案】分析：利用基本不等式判斷出a_n²+a_n+1²≥2a_na_n+1，利用等差數列的前n項和求出數列{a_na_n+1}的前n項和；據項大和就大，判斷出數列{a_n²+a_n+1²}的前n項和的范圍．
解答：解：∵a_n＞0
∴a_n²+a_n+1²≥2a_na_n+1
∵a_na_n+1=n+1
∴{a_na_n+1}的前n項和為2+3+4+…+n+1=
∴數列{a_n²+a_n+1²}的前n項和為
故選D
點評：利用基本不等式的性質時，一定要注意使用的條件：兩個變量必須是正的．