Question

已知數列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，an+1=

an 2 ，an為偶數 an+1 2 ，an為奇數

，若a₁=2013，則a₂₀₁₃=

1

；若{a_n}中有且只有5個不同的數字，則m的不同取值共有

8

個．

Answer 1

分析：由a₁=2013，an+1=

an 2 ，an為偶數 an+1 2 ，an為奇數

，足夠多的次數后，項的值永遠為1，用逆推法求解；m=1時，{a_n}中只有1個不同的數字，各項為1；m=2時，{a_n}中只有2個不同的數字；m=3，或m=4 時，{a_n}中只有3個不同的數字；m=5或m=6，或m=7，m=8時，{a_n}中只有4個不同的數字，當m=9到16時，{a_n}中有且只有5個不同的數字；當n≥17時，{a_n}中有6個或6個以上不同的數字．

解答：解：①∵a₁=2013，an+1=

an 2 ，an為偶數 an+1 2 ，an為奇數

，
∴a2=

2013+1

2

=1007，a3=

1007+1

2

=504，a4=

504

2

=252，
a5=

252

2

=126，a6=

126

2

=63，a7=

63+1

2

=32，a8=

32

2

=16，
a₉=

16

2

=8，a₁₀=

8

2

=4，a₁₁=

4

2

=2，a₁₂=

2

2

=1，a₁₃=

1+1

2

=1，
∴當n≥12時，a_n=1．
∴a₂₀₁₃=1．
②當m=1時，a₁=1，a2=

1+1

2

=1，…，a_n=1，
則{a_n}中只有1個不同的數字1，不成立，故m≠1；
當m=2時，a₁=2，a2=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥2），
則{a_n}中只有2個不同的數字2和1，不成立，故m≠2；
當m=3時，a₁=3，a₂=

3+1

2

=2，a3=

2

2

=1，…a_n=1（n≥3），
則{a_n}中只有3個不同的數字1，2，3，不成立，故m≠3；
當m=4時，a₁=4，a₂=

4

2

=2，a3=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥3），
則{a_n}中只有3個不同的數字1，2，4，不成立，故m≠4；
當m=5時，a₁=5，a₂=

5+1

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個不同的數字1，2，3，5，不成立，故m≠5；
當m=6時，a₁=6，a₂=

6

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個不同的數字1，2，3，6，不成立，故m≠6；
當m=7時，a₁=7，a₂=

7+1

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個不同的數字1，2，4，7，不成立，故m≠7；
當m=8時，a₁=8，a₂=

8

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
則{a_n}中有4個不同的數字1，2，4，8，不成立，故m≠8；
當m=9時，a₁=9，a₂=

9+1

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，3，5，9，成立，故m=9；
當m=10時，a₁=10，a₂=

10

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，3，5，10，成立，故m=10；
當m=11時，a₁=11，a₂=

11+1

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，3，6，11，成立，故m=11；
當m=12時，a₁=12，a₂=

12

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，3，6，12，成立，故m=12；
當m=13時，a₁=13，a₂=

13+1

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，4，7，13，成立，故m=13；
當m=14時，a₁=14，a₂=

14

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，4，7，14，成立，故m=14；
當m=15時，a₁=15，a₂=

15+1

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，4，8，15，成立，故m=15；
當m=16時，a₁=16，a₂=

16

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
則{a_n}中有5個不同的數字1，2，4，8，16，成立，故m=16；
當m=17時，a₁=17，a₂=

17+1

2

=9，a₃=

9+1

2

=5，a₄=

5+1

2

=3，a₅=

3+1

2

=2，a6=

2

2

=1…，a_n=1（n≥6），
則{a_n}中有6個不同的數字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；
當n≥17時，{a_n}中有6個或6個以上不同的數字．
∴m的不同取值共有8個．
故答案為：1，8．

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的合理運用．計算過程較繁瑣，要細心求解，注意不要遺漏．