Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA₁＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB₁上運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）證明：AD⊥C₁E；

（Ⅱ）當(dāng)異面直線AC，C₁E 所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C₁-A₁B₁E的體積．

 

Answer 1

【答案】

(I)見解析；(II) .

【解析】

試題分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image002.png">為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,即可證；（II）等體積法，由，即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image002.png">為動(dòng)點(diǎn)，所以需證面,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image009.png">是直棱柱，所以面

又面，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image014.png">是等腰直角三角形，且為的中點(diǎn)，所以

又

所以. 面,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image019.png">面,

所以，

 (證畢)

（Ⅱ）.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image020.png">,所以,

在中，

在中，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040304174433317210/SYS201404030418264737293796_DA.files/image009.png">是直棱柱

所以是三棱錐的高

所以，三棱錐的體積為

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的性質(zhì)；2.棱錐的體積.