Question

（本題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

   （1）求圓的方程；

   （2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

解析：（1）設圓C的圓心為(m, n)(m<0,n>0)，依題意有解得

        所求的圓的方程為                  …………6分

(2)由已知可得∴                                   …………8分

∴橢圓的方程為,右焦點為F(4, 0);                    …………10分

     從而以F為圓心，FO為半徑的圓的方程為(x 4) 2 + y 2 = 16；     …………12分

     又CF=2<4 + 2，所以圓F與圓C交于兩個不同的點；

所以圓C上存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長，

易知點Q與原點關于CF對稱，所以O關于CF：x + 3y 4=0的對稱點為Q(x0, y0)

則，所以Q點的坐標為.…………16分