Question

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f'_n（x），且滿足：（ξ₁≠ξ₂），λ，ξ₁，ξ₂為常數．
（Ⅰ）試求λ的值；
（Ⅱ）設函數f_2n-1（x）與f_n（1-x）的乘積為函數F（x），求F（x）的極大值與極小值；
（Ⅲ）試討論關于x的方程在區間（0，1）上的實數根的個數．

Answer 1

解：（Ⅰ）f₂（x）=x²，則f₂′（x）=2x，
∴，又ξ₁≠ξ₂，
∴．…（4分）
（Ⅱ）令y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，
則y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，…（3分）
令y'=0，得，且x₁＜x₂＜x₃，
當n為正偶數時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值		極小值

所以當時，y_極大=；當x=1時，y_極小=0．…（7分）
當n為正奇數時，隨x的變化，y'與y的變化如下：

x	（-∞，0）	0				1	（1，+∞）
y'	+	0	+	0	-	0	+
y				極大值

所以當時，y_極大=；無極小值．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，即，
所以方程為，…（12分）∴，…（13分）
又，而對于n∈N^*，有2ⁿ⁺¹＞n+2（利用二項式定理可證），∴x＜1．…（14分）
綜上，對于任意給定的正整數n，方程只有唯一實根，且總在區間（0，1）內，所以原方程在區間（0，1）上有唯一實根．…（15分）
分析：（Ⅰ）根據f₂（x）=x²，可得f₂′（x）=2x，利用，可得
，化簡可求λ的值；
（Ⅱ）先求得y=F（x）=f_2n-1（x）•f_n（1-x）=（1-x）ⁿ•x^2n-1，再求導函數y'=-n（1-x）^n-1•x^2n-1+（2n-1）x^2n-2•（1-x）ⁿ=x^2n-2•（1-x）^n-1[（2n-1）-（3n-1）x]，令y'=0，從而可得極值點，由此進行分類討論，進而確定函數的極值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，即，從而方程為，進而可得結論．
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查方程根的問題，有較大的難度．