Question

在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f(x)=x²+2x+b(x∈R)的圖象與兩個坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．
(Ⅰ)求實數b的取值范圍；
(Ⅱ)求圓C的方程；
(Ⅲ)問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論。

Answer 1

解：(Ⅰ)顯然b≠0．
否則，二次函數f(x)=x²+2x+b的圖象與兩個坐標軸只有兩個交點(0，0)，（-2，0），
這與題設不符，
由b≠0知，二次函數f(x)=x²+2x+b的圖象與y軸有一個非原點的交點(0，b)，
故它與x軸必有兩個交點，
從而方程x²+2x+b=0有兩個不相等的實數根，
因此方程的判別式4-4b＞0，即b＜1，
所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1)．
(Ⅱ)由方程x²+2x+b=0，得，
于是，二次函數f(x)=x²+2x+b的圖象與坐標軸的交點是，
設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因圓C過上述三點，將它們的坐標分別代入圓C的方程，得
，
解上述方程組，因b≠0，得，
所以，圓C的方程為x²+y²+2x-(b+1)y+b=0。
(Ⅲ)圓C過定點．
證明如下：假設圓C過定點(x₀，y₀)（x₀，y₀不依賴于b），
將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0，（*）
為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，
必須有1-y₀=0，結合(*)式得x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0，
解得或，
經檢驗知，點(0，1)，（-2，1）均在圓C上．
因此，圓C過定點．