Question

【題目】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；

（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.

（1）分別為，的中點(diǎn)，

又

在中，為中點(diǎn)，則

又側(cè)面為矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）連接

平面，平面平面

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面平面，面平面

故：四邊形是平行四邊形

設(shè)邊長(zhǎng)是()

可得：，

為的中心，且邊長(zhǎng)為

故：

解得：

在截取，故

且

四邊形是平行四邊形，

由（1）平面

故為與平面所成角

在，根據(jù)勾股定理可得：

直線與平面所成角的正弦值：.