Question

某校有教職員工150人．為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室．假設每位教職員工都會參加其中的一項活動，且第一天去健身房鍛煉的人數為m．據調查統計，每次去健身房的人有20%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有30%下次去健身房．記第n天去健身房的人數為a_n．
（1）若m=80，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若10天之內去健身房鍛煉的超過850人次，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）記第n天去娛樂室的人數為b_n，則a_n+b_n=150，由已知易得a_n=45+a_n-1，進而可得{a_n-90}是-10為首項以為公比的等比數列，求出a_n-90的通項公式后，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可得a_n=90+，利用折項法可得S₁₀=900+（）（m-90），并結合10天之內去健身房鍛煉的超過850人次，構造不等式，解不等式可得m的取值范圍．
解答：解：（1）記第n天去娛樂室的人數為b_n，則a_n+b_n=150
當m=80時，則a₁=80，b₁=70，
則當n≥2時，a_n=（1-20%）a_n-1+30%b_n-1=（1-20%）a_n-1+30%（150-a_n-1）=45+a_n-1，
則a_n-90=（a_n-1-90）
即=
由a₁-90=-10
故數列{a_n-90}是-10為首項以為公比的等比數列
則a_n-90=-10•
∴a_n=90-
（2）∵第一天去健身房鍛煉的人數為a₁=m
由（1）得a_n=90+
則10天之內去健身房鍛煉的S₁₀=900+[（m-90）+++…+]=900+（）（m-90）≥850
則m≤90+≈115
故m的取值范圍為[0，115]
點評：本題考查的知識點是數列通項公式的求解，數列的應用，熟練掌握數列通項公式及求和的方法是解答的關鍵．