Question

已知函數f（x）=x²+2ax+b²．
（1）若a是用正六面體骰子從1，2，3，4，5，6這六個數中擲出的一個數，而b是用正四面體骰子從1，2，3，4這四個數中擲出的一個數，求f（x）有零點的概率；
（2）若a是從區間[1，6]中任取的一個數，而b是從區間[1，4]中任取的一個數，求f（x）有零點的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，只要數出總事件數和符合條件的事件數就可以得到結果，總事件數共有6×4=24種情況，而符合條件的事件數是滿足判別式△=4a²-4b²≥0
（2）本題是一個幾何概型，要看出符合條件的事件對應的幾何圖形的面積和總事件數對應的面積，要求的概率就等于兩個的面積之比，把這兩個題目放在一起，目的是要求區分這兩種概型．

解答：解：（1）要想f（x）有零點，判別式△=4a²-4b²≥0
分類討論
當a=1時，b=1
以此類推
a=2    b=1，2
a=3    b=1，2，3
a=4    b=1，2，3，4
a=5    b=1，2，3，4
a=6    b=1，2，3，4
綜上共有18種可能都是符合要求的，
∵總事件數共有6×4=24種情況，
∴P=

18

24

=

3

4

．
（2）要想f（x）有零點，判別式△=4a²-4b²≥0
∴a²-b²≥0
則點（6，4）與a，b軸圍成的長方形面積就是所有選擇到的點的區域，
要想找a²-b²≥0的點，點的橫坐標就必須得大于等于縱坐標，
不難看出符合條件的面積是15-

1

2

×3×3=

21

2

所有事件對應的面積是3×5=15
∴P=

21 2

15

=

7

10

點評：如何判斷一個試驗是否是古典概型還是幾何概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數，是解題的關鍵．