Question

【題目】在中，已知，，則為（ ）

A. 等腰直角三角形 B. 等邊三角形

C. 銳角非等邊三角形 D. 鈍角三角形

Answer 1

【答案】A

【解析】

已知第一個等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式及內角和定理表示，根據兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到A＝B，第二個等式左邊前兩個因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，將A+B＝C，A﹣B＝0代入計算求出cosC的值為0，進而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．

將已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化簡得：2sinAcosB＝sinC，

∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，

∵A與B都為△ABC的內角，∴A﹣B＝0，即A＝B，

已知第二個等式變形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，

﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，

∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，

即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，

整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，

∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），

∴C＝90°，

則△ABC為等腰直角三角形．

故選：A．