Question

已知函數．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

解：（1）要使函數的解析式有意義
自變量應滿足x≠0
故f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
由于≠0，則-2≠-2
故f（x）的值域為（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取區間（0，+∞）上兩個任意的實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=-=＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函數在（0，+∞）上是減函數
分析：（1）根據使函數的解析式有意義的原則，我們易求出函數的解析式，根據反比例函數的性質，我們易求出函數的值域；
（2）任取區間（0，+∞）上兩個任意的實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，我們作差f（x₁）-f（x₂），并判斷其符號，進而根據函數單調性的定義，可得到結論．
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數的定義域及其求法，函數的值域，其中熟練掌握基本初等函數的定義域，值域，及函數單調性的證明方法是解答本題的關鍵．