Question

在半徑為r的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在同一個(gè)大圓上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，則經(jīng)過(guò)的最短路程是（　　）

• A．2πr
• B．

  7

  3

  πr
• C．

  8

  3

  πr
• D．

  7

  6

  πr

Answer 1

分析：球面上兩點(diǎn)之間最短的路徑是大圓（圓心為球心）的劣弧的弧長(zhǎng)，因此最短的路徑分別是經(jīng)過(guò)的各段弧長(zhǎng)的和，利用內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個(gè)頂點(diǎn)恰好同在一個(gè)大圓上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，經(jīng)過(guò)的最短路程為：一個(gè)半圓一個(gè)

2

3

圓即可解決．

解答：解：由題意可知，球面上兩點(diǎn)之間最短的路徑是大圓（圓心為球心）的劣弧的弧長(zhǎng)，
內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個(gè)頂點(diǎn)恰好同在一個(gè)大圓上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從三棱錐的
一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，
例如動(dòng)點(diǎn)從A到S，再到C，到B回到A，
∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，
則經(jīng)過(guò)的最短路程為：一個(gè)半圓一個(gè)

2

3

圓，
即：rπ+

2

3

×2rπ=

7πr

3

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體，球面距離，考查空間想象能力，是中檔題．解答的關(guān)鍵是從整體上考慮球面距離的計(jì)算．