Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A（x，y）（x≠0）是拋物線C上的一定點．
（1）已知直線l過拋物線C的焦點F，且與C的對稱軸垂直，l與C交于Q，R兩點，S為C的準線上一點，若△QRS的面積為4，求p的值；
（2）過點A作傾斜角互補的兩條直線AM，AN，與拋物線C的交點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直線AM，AN的斜率都存在，證明：直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出F，Q，R的坐標，求出|QR|，利用△QRS的面積為4，可求p的值；
（2）求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率，一種方法是設直線方程與拋物線方程聯立，利用判別式為0，另一種方法是導數法；求直線MN的斜率，一種方法是設直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理及斜率公式，可求斜率，另一種方法是利用k_AM=-k_AN，確定斜率，從而可得結論．
解答：（1）解：由題設，設，則…（1分）
=．…（2分）
∴由△QRS的面積為4，得：，得：p=2．…（4分）
（2）證明：由題意A₁（-x，y）…（5分）
首先求拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．
解法一：設拋物線在A₁處的切線的斜率為k，則其方程為y=k（x+x）+y…（6分）
聯立，消去y得x²-2pkx-2pxk-2py=0
將代入上式得：…（7分）
…（8分）
即，即，得．
即拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率為．…（9分）
解法二：由x²=2py得，…（6分）
∴…（7分）
∴拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁（-x，y）處的切線的斜率為．…（9分）
再求直線MN的斜率．
解法一：設直線AM的斜率為k₁，則由題意直線AN的斜率為-k₁．…（10分）
直線AM的方程為y-y=k₁（x-x），則直線AN的方程為y-y=-k₁（x-x）．
聯立，消去y得…（1）…（11分）
∵方程（1）有兩個根x，x₁，∴
∴，x+x₁=2pk₁，即x₁=2pk₁-x，同理可得x₂=-2pk₁-x…（12分）
直線MN的斜率=．…（13分）
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．…（14分）
解法二：∵k_AM=-k_AN…（10分）
∴…（11分）
將分別代入上式得：，
整理得2x=x₁+x₂．…（12分）
∴直線MN的
斜率=．…（13分）
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．…（14分）
點評：本小題主要考查直線、拋物線、對稱等知識，考查數形結合、化歸與轉化、方程的思想方法，考查數學探究能力以及運算求解能力．