Question

已知函數f（x）是在（0，+∞）上每一點處可導的函數，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，且f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，若數列{

n

f(n)

}（n∈N）的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、-2
• D、-

  3

  2

Answer 1

分析：通過

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，求出a 的值，利用xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，判斷a的值，然后求出數列的通項公式，求
出S_n，然后求出極限即可．

解答：解：f（x）=xa^x（a＞0，a≠1，x＞0），

7f(1)

3

-

f(2)

2

=

2

3

，所以7a-3a²=2，解得a=2或a=

1

3

，
因為函數f（x）是在（0，+∞）上每一點處可導的函數，若xf′（x）-f（x）＞0在x＞0上恒成立，
所以(

f(x)

x

)′＞0即）a^x是增函數，所以a=2，數列{

n

f(n)

}就是{

1

2n

}，
所以S_n=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

，因為公比為：

1

2

lim

n→∞

Sn=

1 2

1- 1 2

=1．
故選B．

點評：本題是中檔題，考查函數的導數及其應用，注意分式的導函數的應用是本題的關鍵，注意無窮等比數列公比小于1的數列求和的極限的應用．