Question

已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為4，離心率為

5

5

．
（1）求橢圓的標準方程； 
（2）若直線L方程為y=x+1，L交橢圓于M、N兩點，求|MN|的長．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由短軸長可得b值，由離心率為

5

5

，可得

c

a

=

5

5

，結合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）聯立方程組消掉y得到x的二次方程，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理及弦長公式即可求得弦長|MN|．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由橢圓短軸長為4得2b=4，解得b=2，
由離心率為

5

5

，得

c

a

=

5

5

，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以橢圓的標準方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）由

y=x+1 x2 5 + y2 4 =1

得9x²+10x-15=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

10

9

，x1x2=-

5

3

，
所以|MN|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 10 9 )2-4(- 5 3 )

=

16 5

9

；

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，弦長公式及韋達定理是解決該類題目的基礎知識，要熟練掌握．