Question

已知函數f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）設a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求證：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數在x=1處的切線與直線平行得f′（1）=1解出a與b的關系式，由函數有極值得方程f′（x）=0有兩個不等實根，所以利用根的判別式大于零解出a的范圍即可；
（2）存在．令f′（x）=0得到函數的兩個穩定點，然后分區間討論函數的增減性，得到函數的極小值令其等于1，討論得到a的值存在，求出a即可；
（3）把a=代入到g（x）=-3中化簡得到g（x）的解析式，然后用數學歸納法證明其結論成立即可．
解答：解：∵f′（x）=x²+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因為函數在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，所以在x=1處的切線的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有極值，故方程f′（x）=x²+2ax-b=0有兩個不等實根∴△=4a²+4b＞0∴a²+b＞0②
由①．②可得，a²+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故實數a的取值范圍是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）存在a=-
∵f′（x）=x²+2ax-b，令f′（x）=0∴x₁=-a-，x₂=-a+

∴f（x）_極小=f（x₂）=+ax₂²-2ax₂+1=1
∴x₂=0或x₂²+3ax₂-6a=0
若x₂=0，即-a+=0，則a=0（舍）
若x₂²+3ax₂-6a=0，又f′（x₂）=0，∴x₂²+2ax₂-2a=0，
∴ax₂-4a=0
∵a≠0∴x₂=4
∴-a+=4
∴a═＜-2
∴存在實數a=-，使得函數f（x）的極小值為1．
（3）∵a=，f′（x）=x²+x-1，∴f′（x+1）=x²+3x+1，∴-3==x+∴g（x）=x+，x∈（0，+∞）．
證明：當n=1時，左邊=0，右邊=0，原式成立，
假設當n=k時結論成立，即-x^k-≥2^k-2
當n=k+1時，左邊=-x^k+1-≥（x+）（2^k-2+x^k+）-（x^k+1+）=（x+）（2^k-2）+x^k-1+≥2^k+1-4+2=2^k+1-2
當且僅當x=1時等號成立，即當n=k+1時原式也成立
綜上當n∈N₊時，gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2成立．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，理解斜率相等時兩直線互相平行，以及會用數學歸納法證明不等式．