Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若，求實數取值的集合；

（Ⅱ）當時，對任意，，令，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（I）f′（x）．（x＞0）．對a分類討論即可得出單調性極值與最值．進而得出a的取值集合;（II）當a＝0時，f（x）＝lnx，則，由（I）可知：lnx1≥0，（x＞0）．根據0＜x1＜x2，可得1，ln1，即可證明．由（I）可知：lnx＜x﹣1，（x＞1）．同理可證明：．

（Ⅰ）由已知，有.

當時，，與條件矛盾；

當時，若，則，單調遞減；

若，則，單調遞增.

∴在上有最小值.

由題意，∴.

令.∴.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

綜上，當時，實數取值的集合為.

（Ⅱ）當時，，則.

由（Ⅰ），可知.

∴（當且僅當時取等號）. ①

∵，∴.∴，∴

由①式可得當時，有.

∵，∴.

∴.

綜上所述，有，∴.