Question

若圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2

2

．則直線l的傾斜角的取值范圍是

[

π

12

，

5π

12

]

．

Answer 1

分析：求出圓心為C（2，2）、半徑r=3

2

，根據圓的性質可得：當圓上至少有三個不同的點到直線l的距離為2

2

時，圓心到直線的距離應小于或等于

2

，由此利用點到直線的距離公式和直線的斜率公式加以計算，即可得到直線l的傾斜角的取值范圍．

解答：解：圓x²+y²-4x-4y-10=0化簡為標準方程，可得（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圓心坐標為C（2，2），半徑r=3

2

，
∵在圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2

2

，
∴圓心到直線的距離應小于或等于r-2

2

=

2

，
由點到直線的距離公式，得

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
∴（2a+2b）²≤2（a²+b²），整理得(-

a

b

)2-4(-

a

b

)+1≤0，
解之得2-

3

≤-

b

a

≤2+

3

，
∵直線l：ax+by=0的斜率k=-

b

a

∈[2-

3

，2+

3

]
∴設直線l的傾斜角為α，則tanα∈[2-

3

，2+

3

]，即tan

π

12

≤tanα≤tan

5π

12

．
由此可得直線l的傾斜角的取值范圍是[

π

12

，

5π

12

]．
故答案為：[

π

12

，

5π

12

]

點評：本題考查了直線和圓的位置關系、直線與圓相交的性質，要求熟練掌握并靈活運用點到直線的距離公式，以及直線傾斜角與斜率的關系等知識，屬于中檔題．