Question

如果實數x，y滿足

x≥0 y≥0 2x+y≤2

，對任意的正數a，b，不等式ax+by≤1恒成立，則a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：畫出滿足約束條件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面區域，求出各個角點的坐標，根據對任意的正數a，b，不等式ax+by≤1恒成立，構造關于a，b的不等式組，結合不等式的基本性質，即可得到a+b的取值范圍．

解答：解：滿足約束條件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面區域如下圖所示，
由于對任意的正數a，b，不等式ax+by≤1恒成立，
又ax+by的最大值在右上邊界處取到，即在點（0，2）與點（1，0）處取到
∴

a≤1 2b≤1

即

a≤1 b≤ 1 2

又∵a＞0，b＞0，
∴a＜a+b≤

3

2

故a+b的取值范圍是(0，

3

2

]
故答案為：(0，

3

2

]

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，其中根據約束條件，畫出滿足約束條件的可行域并求出各角點的坐標，是解答此類問題的關鍵．